A gravitációs mező és elektromos mező összehasonlítása

A gravitációs és elektromos mező összehasonlítása

Feladatok:

1. Hasonlítsa össze a pontszerű tömegek és töltések között fellépő erőhatásokat!

– az erőtörvények összehasonlítása

– a kölcsönhatások hasonlóságai és eltérései

2. Hasonlítsa össze a két proton között fellépő gravitációs és elektromos erők nagyságrendjét!

 

3. Jellemezze egy pontszerű töltés és egy pontszerű tömeg erőterét!

– erővonalak ábrázolása

– erőtér távolságfüggésének vizsgálata

– gravitációs gyorsulás

4. Hasonlítsa össze a homogén elektromos és gravitációs mezőben a munkavégzést!

– erővonal szerkezet

– adott kezdő és végpont közötti munkavégzés különböző pályákon

 

1. Hasonlítsa össze a pontszerű tömegek és töltések között fellépő erőhatásokat!

gravitációs_és_elektromos_mező1

A töltés értéke abszolút értékben van hiszen nagyságuk egyenlő viszont előjelük ellentétes.  A töltéssel rendelkező testek között vonzó vagy taszító erő alakul ki attól függően, hogy egynemű vagy különnemű töltéseket helyezek el egymástól r távolságban. Azonos töltések között taszító, míg különböző töltések között vonzó erő tapasztalható. Az erő nagyságát a Coulomb törvényből lehet számolni. Az erő nagysága egyenesen arányos a töltések nagyságával és fordítottan arányos a távolság négyzetével.

ahol Fc a Coulomb erő nagysága, k a Coulomb féle arányossági tényező, Q1 és Q2 a testek töltései, r pedig a közöttük lévő távolság.

Nézzük meg most a Newton féle gravitációs erőtörvényt, melynek alakja nagyon hasonló a Coulomb törvényhez. A gravitációs törvény szerint a tömeggel rendelkező testek között mindig vonzó kölcsönhatást lehet megfigyelni. Newton megállapította, hogy két test között lévő gravitációs vonzás nagysága egyenesen arányos a testek tömegével, és fordítottan a távolság négyzetével. Ez a megállapítás egy egyszerű egyenletben kifejezve a következő:

ahol F a gravitációs vonzóerő nagysága, G a gravitációs konstans, m1 és m2 a testek tömegei, r pedig a közöttük lévő távolság.

A fentiek alapján látható a két törvény matematikai alakja teljesen megegyezik.

A gravitációs erő kizárólag vonzó lehet, míg a Coulomb erő lehet vonzó és taszító is. Jegyezzük meg, hogy a Coulomb erőt vagy kölcsönhatást lehet árnyékolni pl. Faraday kalitka segítségével. Ez a gravitációs erőnél nem lehetséges.

 

2. Hasonlítsa össze a két proton között fellépő gravitációs és elektromos erők nagyságrendjét!

A proton olyan elemi részecske ami az atomok magjában helyezkedik el, rendelkezik tömeggel és pozitív töltéssel. A proton töltése egyenlő az elemi töltéssel.

Helyettesítsük be ezeket az értékeket a Newton féle gravitációs törvénybe és Coulomb törvénybe. A távolság legyen ismét egységnyi értékű r = 1 m.

A fent látható 2 erőhatás összehasonlítását egy hányados alapján kaphatjuk meg:

Rendezzük át a fenti egyenletet:

Látható, hogy a Coulomb erőt egy nagyon nagy számmal kell elosztani, hogy a Gravitációs erőből egységnyi 1 N nagyságút kapjunk. A gravitációs kölcsönhatásból származó erő  -ad része az elektromos kölcsönhatásból származó erőnek. Ebből következik, hogy az atom modellekben a tömeggel rendelkező elemi részecskék között ható gravitációs kölcsönhatást elhanyagoljuk.

 

3. Jellemezze egy pontszerű töltés és egy pontszerű tömeg erőterét!

3.1 Gravitációs mező

A föld bolygó a csillagközi távolságokhoz képest pontszerűnek tekinthető. Látható hogy az erővonalak (nyilak) a tömeg felé mutatnak hiszen a kölcsönhatás csak vonzó lehet. A tömegpont körül lévő gravitációs erőtér vagy mező gömbszimmetrikus. Azonos r távolságban az erőhatás egyenlő nagyságú. Az erőtér forrása a középpontban lévő m tömeg.

3.2 Elektrosztatikus mező

Bal oldalt a negatív elektromos töltés vagyis az elektron körül lévő mező vagy erőtér ábrázolása látható, ami megegyezés szerint befelé a forrás felé mutat. Jobb oldalon pedig a pozitív töltés azaz a proton körül lévő mező figyelhető meg, itt a nyilak kifelé mutatnak. Az erővonalak segítségével a vonzás és a taszítás is szemléltethető.

A bal oldali ábrán az ellentétes töltések között vonzó erő lép fel, így az erővonalak egymás felé mutatnak. Jobb oldalon a taszítás miatt egymástól elfelé irányulnak az erővonalak.

A lenti ábrán a két mezőhöz tartozó erőtér távolság függése van ábrázolva egy ábrán. A Gravitációs erőhöz tartozó kék görbén látható, hogy annak csökkenése erőteljesebb, ezt úgy is mondhatjuk, hogy a gravitációs mező hamarabb „lecseng”. Jegyezzük meg, hogy ez egységnyi töltés és tömeg esetén lesz igaz.

A töltés nagysága vagy mérőszáma a hétköznapi életben, pl. labor körülmények között igen kicsi egység, ezzel szemben a tömeg mérőszáma nagyon nagy. Ezért a valóságban a gravitációs kölcsönhatás lesz a nagyobb hatótávolságú.

A Newton féle gravitációs erőtörvényből kiszámolható a nehézségi gyorsulás, g. A Föld gravitációs mezőjében lévő m2 tömegű testnek g nagyságú gyorsulás növeli a sebességét.

A Föld bolygón tengerszint magasságban a g nehézségi gyorsulás jó közelítéssel mindenhol egyenlő értékű.

 

4. Hasonlítsa össze a homogén elektromos és gravitációs mezőben a munkavégzést!

A lenti ábrán látható amikor homogén elektromos mező alakul ki a feltöltött kondenzátor lemezei között, a töltés felhalmozódás következményeként.

Helyezzük-e bele a Qp próba töltést a homogén E mezőbe és mozgassuk A -ból B pontba. Az elektromos mező erőt fejt ki a töltésre, ezért ha a töltés elmozdul, a mező munkát végezhet rajta.

A fenti egyenletből az látszik, hogy a munkavégzés csak a Qp próbatöltés tetszőlegesen kiválasztott A, B kezdő és végpontjától függ. A munkavégzés független a Qp által megtett út alakjától. Az ilyen tulajdonságú erőtereket konzervatív erőtereknek nevezzük. Csak akkor kapok zérustól eltérő járulékot ha a mozgás nem merőleges az E térerősség vektorokra.

Ha mostmár tudjuk, hogy a homogén elektromos tér konzervatív, akkor ebből egy további tulajdonság is következik. Számoljuk ki a munkavégzést először úgy, hogy a Qp próba töltés az 1. görbe mentén jut el A -ból a B pontba. Ezt a munkavégzést jelölöm W(A1B) -vel. Ezután számoljuk ki a munkát úgy is, hogy a próba töltés a 2. görbe mentén mozog B -ből A pontba visszafelé. Ilyenkor azt kapjuk, hogy a 2 munkavégzés egyenlő és ellentétes előjelű.

Ha bejárjuk mindkét görbét akkor zárt görbét kapunk. A teljes zárt görbén az elektromos tér a W(A1B,B2A) munkát végezi el összesen.

Mivel pedig

ezért

Ha a próba töltés mindkét görbén végighalad, akkor zárt görbe mentén végzett munkát az elektromos mező amely zérus értékű. Ez alapján az elektrosztatikus tér egy fontos tulajdonsága derül ki amit örvénymentességnek nevezünk.

Az örvénymentesség az energia megmaradás elvéből is következik. Ha ugyanis a próba töltésnek egy zárt görbén való körülvitelekor az elektrosztatikus tér munkája nulla helyett pl. pozitív lenne W > 0, akkor ismételt körülvitelek révén tetszőlegesen nagy munkát nyerhetnénk minden energia felhasználás nélkül.

Kapcsolódó tananyagok:

29. Elektrosztatika

30. Elektrosztatika feladatok

Kapcsolódó termékek, fizika esszék